[Risolto] Domanda di analisi

[nierro]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una informazione. Innanzitutto ho cercato su google, ma sinceramente è una ricerca complicata perchè non ho manco idea di che diavolo cercare, e infatti non ha dato frutti.
La mia domanda è questa: c'è una progressione in qualche modo calcolabile di quanto uno sviluppo in serie di Taylor (di MacLaurin, poichè calcolato in 0), ampli la sua somiglianza con la funzione sviluppata?
Mi piacerebbe capire se c'è una corrispondenza.
Per farmi capire meglio...se sviluppo il seno fino al 5 grado, la somiglianza magari giunge al dominio (-2;2). Invece arrivando al 10 grado, la somiglianza si estende a (-4;4) (sto ovviamente inventando al momento).
Insomma, c'è una regola di quanto si debba espandere uno sviluppo di taylor, per approssimare una funzione in un determinato dominio?

Grazie, spero che il titolo non scoraggi nessuno

[crx]

E' un po' che non studio analisi, ma ad occhio la domanda mi sembra mal posta.
Per 'somiglianza' bisogna vedere cosa si intende: per continuare con il tuo esempio, se sviluppo sin(x) e prendo i primi 5 termini, non è che il polinomio mi dà il risultato esatto fino a x=2 e poi comincia a divergere: per ogni -2<x<2 c'è un po' di errore, e sta a te decidere qual'è l'errore 'accettabile'.
Detto un po' meglio: prendendo un numero qualunque di termini dello sviluppo, esisterà comunque una serie infinita di termini rimanenti (che corrispondono al resto), per cui una equivalenza perfetta tra polinomio di Taylor di grado n e funzione non ci sarà mai: esisterà solo una 'somiglianza' più o meno buona, ma quanto sia buona lo decidi tu. Per questo non puoi stabilire 'a priori' un intervallo di 'somiglianza': perché la somiglianza non è un'equivalenza e quanto una funzione è somigliante, se abbastanza o no, lo puoi sapere solo tu per i tuoi scopi.

A quanto ne so l'unico modo per fare qualcosa di simile è valutare appunto i resti, ad esempio con il resto di Lagrange (o di Cauchy o altri):
http://mathworld.wolfram.com/LagrangeRemainder.html
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 046AACmYkK

Detto questo, aspetto volentieri smentite da chi ne sa di più .

[nierro]

Esattamente, però se stabilisco accettabile ad esempio R<0.005, dove R è lo scarto tra il polinomio di Maclaurin sviluppato fino all'n grado, e la funzione calcolato nell'estremo dell'intervallo, posso ricavarmi "n". E' corretto?

[nierro]

Ero già giunto all'uso del resto di lagrange. Ma c'è un problema: il tutto è inserito in un programmino in C che stavo sviluppando per puro diletto, solo per ripassare un po' questi argomenti di analisi.
Ma il fatto è che non sto utilizzando math.h, proprio perchè avevo intenzione di ripassare l'analisi matematica (e programmazione in c). E senza math.h, non ho modo di crearmi la funzione seno, e ancora meno posso definirne una derivata...perciò tutti i metodi dei resti sembrerebbero inutili...
Inizio a pensare che cosi come credevo io non ci sia una soluzione.

[crx]

Boh, magari imponendo il valore di R dovresti poter trovare l'intervallo (x - x0) che soddisfa quella condizione... magari esiste qualche metodo di analisi numerica, ma io non ne ho fatto e non ti so aiutare.

[nierro]

Eh, appunto vi sono i resti (peano, lagrange..) e il più semplice da implementare sarebbe quello di lagrange. Cosa però infattibile senza prima definire le funzioni di partenza (il seno, coseno...). Ma a quel punto non avrei più bisogno di riportarmi allo sviluppo di taylor per fare ciò che vorrei io.
Nah, credo che cosi come lo pensavo, non possa riuscire. Devo per forza usare math.h, anche se ciò rende meno divertente il tutto.
Considero risolto comunque (e stupido io che non ho subito pensato al resto di lagrange!)

EDIT: grazie comunque!